一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

定理表述圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恆等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连线DE.

则△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,

所以△ABC∽△AED.

BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

複数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的複数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 注意到複数恆等式 (ab)(cd) + (ad)(bc) = (ac)(bd) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、

设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 △ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。

三、

托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知圆内接四边形ABCD，求证AC·BD=AB·CD+AD·BC．

证明如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得ACBC=ADBP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得ACCD=ABDP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．

四、广义托勒密定理设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n，则有

m²n²=a²c²+b²d²-2abcdcos(A+C)

托勒密不等式凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号若且唯若共圆或共线。

简单的证明複数恆等式(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，

得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，若且唯若ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆

1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

欧拉定理在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD