在数学中，K-理论（K-theory）是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑K-理论；在代数与代数几何中，称之为代数K-理论；在运算元代数中也有诸多套用。它导致了一类 K-函子构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。

在物理学中，K-理论特别是扭曲K-理论（twisted K-theory）出现在II型弦理论（Type II string theory），其中猜测它们可分类D-膜（D-branes）、拉蒙-拉蒙场强（Ramond-Ramond field）以及广义複流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。

最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class ，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。格罗腾迪格需要在代数簇 X 的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群 通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关係，得到一个现在记作 的群。这两个构造都被称为格罗腾迪克群； 具有上同调錶现而 有同调錶现。

如果 是一个光滑簇，两个群是相同的。

在拓扑学中，我们对向量丛有类似的和构造。麦可·阿蒂亚与弗里德里希·希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）在1959年使用格罗腾迪格群构造来定义拓扑空间 的 （两个构造一致）。这是在代数拓扑中发现的第一个奇异上同调理论的基础。它在指标定理的第二证明中起了巨大的作用。，这种途径导向了 C-代数的非交换 -理论。

在1955年，让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想（Serre's conjecture），该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模；这个论断是正确的，但知道20年后才解决（斯旺定理（Swan'theorem）是这个类比的另一方面）。1959年，塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造，用它来证明投射模是稳定自由的。这个套用是代数K-理论之开端。

随后一个时期，出现了各种类型的“高阶 K-理论函子”定义。，两种有用的等价定义由丹尼尔·奎伦（Daniel Quillen）在1969年与1972年用同伦理论给出。另一种变体也由弗里德海姆·瓦尔德豪森（Friedhelm Waldhausen）为了研究“空间的代数 K-理论”提出，这与伪同痕的研究有关。大多数现代高阶 K-理论研究与代数几何和主上同调（motivic cohomology）有关。

带有一个辅助的二次型的相应构造具有一般名字L-理论（L-theory）。它是割补理论（surgery theory）的主要工具。

在弦理论中，拉蒙-拉蒙场强与稳定D-膜电荷的 K-理论分类在1997年提出。

这个猜想,套用于d膜费用,提出麦纳斯安&摩尔(1997)。它的流行源于威腾(1998)表明,在IIB型弦理论从Ashoke森出现自然的实现任意维膜配置为成堆的D9和反D9膜超光速粒子凝结后。

这样的成堆的膜不一致在一个非扭转内沃施瓦兹(NS)3形式背景,强调了Kapustin(2000),使複杂的扩展k理论分类这样的案例。Bouwknegt & Varghese(2000)提出了一个解决这个问题的办法:d膜一般都由一个扭曲的k理论分类,早些时候已被定义为罗森伯格(1989)。

k理论分类的d膜套用多次。例如,Hanany & Kol(2000)用它来认为,有八种orientifold一架飞机。Uranga(2001)採用了k理论分类派生新的一致性条件compactifications通量。k理论也被用于推测一个公式为拓扑流形的t双由Bouwknegt,Evslin & Varghese(2004)。k理论一直推测分类spinors在compactifications广义複流形上。

儘管取得了这些成就,RR熔化不完全被k理论。迪亚科内斯库,摩尔&威腾(2003)认为,k理论分类是不兼容年代对偶在IIB弦理论。

,如果一个人试图在一个紧凑的分类通量十维,然后一个併发症出现时空由于自对偶的RR通量。二元性的使用霍奇明星,这取决于度量,所以不断重视和在特定的通常是非理性的。并不是所有的RR通量,解释为陈省身字元在k理论,可以理性的。陈省身字元总是理性的,所以k理论分类必须更换。需要选择一个一半的流量到数字转换,或一个极化(消歧需要]在几何量化启发语言,摩尔,迪亚科内斯库威滕和以后的Varghese &殉死(2004)。时而可以使用k理论一个9维时间片是由马,摩尔&令(2001)。

在经典极限的II型弦理论,这是II型超引力,Ramond-Ramond磁场强度是微分形式。在量子理论的well-definedness的配分函式的d膜意味着RR磁场强度服从狄拉克量子化条件当时空紧凑,或当一个空间片紧凑和一只考虑(磁)组件的场强沿空间方向的谎言。这使得20世纪物理学家分类RR磁场强度使用上同调与积分係数。

一些作者认为,时空上同调的整係数太大。例如,在存在内沃施瓦兹的h通量或非自旋周期一些RR通量决定存在d膜。在前一种情况下这是一个后果的超引力运动方程即产品的RR通量与NS 3形式是一个d膜电荷密度。,组拓扑不同的RR磁场强度,可以存在于膜自由配置只有一个子集的上同调与积分係数。

这个子集仍然太大,因为有些课程是由大规转换有关。在QED有大规的转换,添加积分倍数2π,威尔逊的循环。潜力的p形式在II型超引力理论也喜欢这些大规的转换,但由于存在陈省身西蒙斯条款,在超引力行动这些大规转换变换不仅p形式但也潜力(p + 3)—构成磁场强度。从而获得inequivalent的空间磁场强度从前述的子集的积分上同调我们必须商通过这些大规的转换。

这个Atiyah-Hirzebruch谱序列结构扭曲的k理论,加给的磁场强度,NS 3形式作为一个商集的上同调与积分係数。在经典的极限,这对应于工作与理性,这正是係数差商的一个子集超引力中所述。量子修正来自扭类和含国防部2扭转修正由于释放的威滕异常。

扭曲k理论分类的子集,可以存在磁场强度RR在缺乏d膜quotiented大规的转换。丹尼尔释放已尝试扩展该分类包括也RR潜力使用微分k理论。

k理论分类d膜在noncompact spacetimes,直观地在spacetimes中,我们不关心这个膜通量源自有无处可去。而k理论的10维时空分类d膜作为子集的时空,如果时空是产品的时间和一个固定9歧管然后k理论也将保存在每个指控d膜9维空间切片。虽然我们必须忘记RR潜力得到k理论分类的RR领域的优势,我们必须忘掉RR磁场强度来获得k理论分类的d膜。

已经强调了切赫Hoava,k理论分类的d膜是独立的,而且在某些方面强于BPS的分类,州。k理论似乎分类稳定d膜超对称性差了基于分类。

例如,d膜与扭力指控,指控在订单N循环群,相互吸引,所以不能个基点。事实上,N这样的膜可以腐烂,而没有叠加的膜,满足Bogomolny必然会不断衰减。这样的膜的电荷守恆模N,这是被k理论分类但不是一个分类。这种扭转膜被套用,例如,模型Douglas-Shenker字元串在超对称U(N)计理论。

Ashoke森曾猜想,在缺乏拓扑非平凡NS 3形式通量,所有IIB膜配置可以获得成堆的spacefilling D9和反D9通过超光速粒子凝结。膜的拓扑生成的膜被编码在拓扑的规束在堆叠上的spacefilling膜。拓扑的规束一堆D9s和反D9s可以分解成一个规束在D9的和另一个包在反D9的。超光速粒子凝结转换这样一双包另一双,同样的包是直接与每个组件在两人。,超光速粒子凝结不变的量,即电荷是守恆的超光速粒子凝结过程,不是一双包而是等价类的一双包在直接大笔的同一包两侧的一对。这就是通常的拓扑k理论建设。,规束在成堆的D9的和反D9的归类拓扑k理论。如果森的猜想是正确的,所有d膜配置类型IIB然后被k理论。切赫Horava已经扩展这个猜想到IIA使用d8膜。

而超光速粒子凝结的照片k理论分类分类d膜作为子集的10维时空没有NS 3形式通量,马,摩尔,令图片分类稳定与有限质量与d膜的子集,9维空间片时空。

中央的观察是,D膜不分类,通过积分相同,因为dp膜包装一定周期遭受一个释放的威滕异常,这是被插入的D(p 2)膜,有时D(有兆赫"奔" 4)膜,结束在困苦dp膜。这些插入膜可以继续无穷大,在这种情况下,複合对象有一个无限的质量,否则他们可能会在一个反dp膜,在这种情况下,总费用是零。dp膜在这两种情况下,你可能希望删除异常dp膜从谱,只留下一个子集的原始积分上同调。

插入的膜不稳定。看到这,假设他们扩展在时间(过去)从反常膜。这对应于一个过程中,插入膜衰减通过dp膜形成,将前述的循环,然后就消失了。MMS[1]指这个过程作为一个瞬子,虽然确实不需要instantonic。

保守的指控是nonanomolous quotiented子集由不稳定的插入。这正是Atiyah-Hirzebruch谱序列结构的扭曲的k理论作为一组。

迪亚科内斯库,摩尔,威滕指出,twisted k理论分类是不兼容的类型的年代对偶协方差IIB弦理论。例如,考虑约束条件的Ramond-Ramond 3形式场强G3的Atiyah-Hirzebruch谱序列(展现):

在d3 = Sq3 + H是第一重要的微分的展现,Sq3是第三个斯丁洛特广场和的平等是事实,第n个斯丁洛特广场表演任何n形式x是xx。

上面的方程是不不变在年代对偶,G3和h .相反迪亚科内斯库交流,摩尔,威滕提出以下年代对偶协变数扩展

P是一个未知的地方特徵类,仅仅依赖于拓扑结构,特别是不要在助熔剂。迪亚科内斯库,释放了&摩尔(2007)发现了一个约束在P使用E8规范理论方法m理论开创,摩尔,威腾迪亚科内斯库。

d膜在IIB不被扭曲的k理论毕竟,一些未知的年代对偶协变对象,不可避免地也都基本字元串和NS5-branes分类。

MMS处方为计算k理论很容易S-covariantized扭曲,释放的威滕异常尊重年代对偶。,S-covariantized形式的MMS建设可套用于构建S-covariantized扭曲k理论,作为一组,不知道有任何几何描述的正是这种奇怪的协变的对象。这个项目已经进行的论文数量,如Evslin & Varadarajan(2003)和Evslin(2003 a),也被套用到分类的流量通过Evslin(2003 b)。Bouwknegt et al。(2006)使用这种方法来证明迪亚科内斯库,摩尔,威腾的推测约束在3通量,他们显示有一个额外的期限等于d3膜电荷。Evslin(2006)表明,Klebanov-Strassler一连串令二是由一系列的年代双MMS instantons,一个用于每个令二元性。该集团的普遍性类的超对称规范理论是然后证明同意年代双扭k理论和不与原扭曲k理论。

一些作者提出了完全不同的方法去解决这个难题。例如,Kriz &殉死(2005)提出,而不是扭曲的k理论,二世弦理论配置应该归类为椭圆上同调。

一个优秀的介绍了k理论分类的d膜在十维森的猜想是通过Ashoke原始纸”d膜和k理论”由爱德华·威腾;还有一个广泛的审查由奥尔森&萨博(1999)。

一个非常理解介绍twisted k理论分类的守恆d膜费用9维时间片存在内沃施瓦兹的通量是马,摩尔&令(2001)。