BCH码

构建

• m1(x) = (x - α)(x - α)(x - α)(x - α)=x + x + 1。
  

• C(x) ≡ 0（mod m1(x)）且根为 α, α, α, α 的多项式 C(x)。
  if then declare an empty error locator polynomial stop Peterson procedure. end set continue from the beginning of Peterson's decoding
  

编码

• 构建码字为
  
• (c14, c13, ..., c8)
  
• 这样多项式为
  
• c14+c13+...+c8
  
• 我们将它称为 CI。
  
• 然后就要找出 CR 满足 CR=CI (mod m1,3(x))=c7+c6+...+c0
  
• 这样就得到待发的码字 C(x) = CI+CR (mod m1,3(x)) = 0
  
• 例如，如果我们要对 (1,1,0,0,1,1,0) 进行编码
  
• CI=x^6+x^5+x^2+x^1
  
• 然后用 m1,3(x) 除以（这里的除法是多项式除法）CI ，得到结果为 CR(x)，在Z2域中，我们可以算出 CR为
  
• x+1
  
• 这样，待发的码字为
  
• (1,1,0,0,1,1,0, 0,0,1,0,1,0,0,1)
  

解码

• BCH 的解码过程可以分为以下四步
  
• 计算接收到的向量 R 的 2t 伴随矩阵
  
• 计算错误定位多项式
  
• 解多项式，得到错误位置
  
• 如果不是二进制 BCH 码，就计算错误位置的误差值
  
• 假设我们收到一个码字向量 r，即多项式 R(x)）。
  
• 如果没有错误，那幺 R(α)=R(α)=0
  
• 如果有一个错误，例如 r=c+ei，其中 ei 表示 R 的第 i个基向量 于是
  
• S1=R(α)=C(α)+α=α
  
• S3=R(α)=C(α)+(α)
  =(α)=S1
  这样就可以纠正错误。α 的指数显示的数据位变化可以帮助我们校正错误。如果有两个错误
  r=c+ei+ej
  那幺
  S1=R(α)=C(α)+α+α
  S3=R(α)=C(α)+(α)+(α)
  = (α)+(α)
  这与 S1 不同，所以我们认为有两个错误。更进一步的代数方法可以帮助校正着两个错误。
  

BCH 解码算法

• 流行的解码算法有，
  
• Peterson Gorenstein Zierler 算法
  
• Berlekamp-Massey 算法
  

错误校正

• 对于二进制的 BCH 码，可以直接根据错误定位多项式因数素元指数的位置校正接收到的向量。，对这些位置接收到的数值取反，就可以得到正确的 BCH 解码码字。
  
• 也可以使用Berlekamp-Massey 算法确定错误定位多项式，从而解决 BCH 解码的问题。
  

BCH广播信道

BCH规则

北京儿童医院