( 型) 设数列 、 满足① 严格单调递增 ② ③ (其中 可以为有限实数、 、)

则

这个是较常用的版本

(型) 设数列、满足①严格单调递减且趋于零 ②③ (其中可以为有限实数、、)

则

一、 型

(当 为有限实数时)由 ， ， ，当 时， ， 即

(这里可以把 乘到不等号另一边是因为 严格单调递增，所以 ，乘到不等号另一边时不变号)

又由 ，∴ ，当 时， (这里是根据数列趋于正无穷大的定义)，∴ (注一)

取 ，当 时，从 到 对 式累加，有

累加得

同除 (还是因为 严格单调递增， ， ， )，还注意到 ，因为 ，

即 ，由 ，且 、 是常数，因为 是确定的下标！由极限的四则运算法则， (注二)， ，同理 ，再由极限的四则运算法则， ， [1]

即 ，

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为了方便初学者，这里解释一下以上的跳步。注意以下的注里出现的符号与上面证明的符号是分开的！比如注一的 与证明里的 不同啊，初学者不要搞混。

注一我们可以证明，若 ，则 ，

证明由 ， ， ，当 时， ， ，∴ ， ，当 时， ，即

注二由注一， ，可推出 ，相当于去掉了第一项，极限是趋于无穷的行为，有没有这一点对极限毫无影响，后面的 也是如此，这一点是可以证明的，这里略去。可以看[2]的第4题的证明过程。

还有倒数第二段那里一堆的使用极限四则运算法则，严谨性是达到了，为了初学者能正确掌握，看起来很繁琐，其实这段里面的一些步骤在已经学了数学分析的同学眼里是已知的，无须写出来的。所以如果你要在正式场合写该定理的证明，以上证明中的"因为"后面的解释说明和倒数第二段的繁杂过程可以删减，按你的意愿做相应简化即可。

例求极限(k为正整数)。

解令，

由O'Stolz定理

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