GRAM，格拉姆矩阵，以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆命名。
基本介绍
- 中文名格拉姆矩阵
- 外文名GRAM
内容
在线性代数中，内积空间中一族向量格拉姆矩阵（Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian）是内积的对称矩阵，其元素由 Gij= (vi| vj)给出。
一个重要的套用是计算线性无关一族向量线性无关若且唯若格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。
格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（Jørgen Pedersen Gram）命名。
例子
最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L空间中函式，比如紧区间[a, b] 上的连续函式（是 L（[a, b]）的子集）。
给定区间 [t0,tf]上的实值函式，格拉姆矩阵G= [Gij]，由函式的标準内积给出
给定一个实矩阵 A，矩阵 A（T）A是 A的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 AA(T)是 A的行向量的格拉姆矩阵。
对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式B，我们可对一组向量
定义一个格拉姆矩阵 G为。如果双线性形式 B对称则该格拉姆矩阵对称。
性质
1.半正定
格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的任何正交基的格拉姆矩阵是恆同矩阵。
这个命题无穷维类比是 Mercer 定理（Mercer's theorem）。
2.基变换
在一个由可逆矩阵 P表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P做一个矩阵契约变为 PGP。
格拉姆
格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩阵的行列式在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关若且唯若格拉姆行列式不为零（若且唯若格拉姆矩阵非奇异）。
套用
如果向量是随机变数，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。
在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlap matrix）。
在控制论（或更一般的系统理论中），可控性格拉姆矩阵（controllability Gramian）与可观测性格拉姆矩阵（observability Gramian）确定了线性系统的性质。
格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中（比如可参见 Jamshidian & Bentler (1993)）。
在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函式时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函式的内积。