Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的套用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
基本介绍
- 中文名克鲁斯卡尔算法
- 外文名Kruskal algorithm
- 套用领域运筹学
- 时间複杂度O(|E|log|E|)
基本思想
先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。
步骤
- 新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边；
- 将原图中所有的边按权值从小到大排序；
- 从权值最小的边开始，如果这条边连线的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；
- 重複3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。
证明
- 这样的步骤保证了选取的每条边都是桥，图G构成一个树。
- 为什幺这一定是最小生成树呢？关键还是步骤3中对边的选取。算法中总共选取了n-1条边，每条边在选取的当时，都是连线两个不同的连通分量的权值最小的边
- 要证明这条边一定属于最小生成树，可以用反证法如果这条边不在最小生成树中，它连线的两个连通分量最终还是要连起来的，通过其他的连法，那幺另一种连法与这条边一定构成了环，而环中一定有一条权值大于这条边的边，用这条边将其替换掉，图仍旧保持连通，但总权值减小了。也就是说，如果不选取这条边，构成的生成树的总权值一定不会是最小的。
时间複杂度
平均时间複杂度为O(|E|log|E|)，其中E和V分别是图的边集和点集。
C语言程式
#include<stdio.h>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int M = 1e5+7;struct node{ int a,b,val;} Q[M];int fa[M];int Rd(){ int res=0;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c)); do { res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48); } while(c=getchar(),isdigit(c)); return res;}bool cmp(LZ a,LZ b){ return a.val<b.val;}int getfa(int v){ if(fa[v]!=v)fa[v]=getfa(fa[v]); return fa[v];}int main(){ int i,j,n,m,x,y; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=m;i++) { Q[i].a=Rd();Q[i].b=Rd();Q[i].val=Rd(); } sort(Q+1,Q+m+1,cmp); for(i=1;i<=n;i++) { fa[i]=i; } int sum=0,cut=0; for(i=1;i<=m;i++) { x=getfa(Q[i].a); y=getfa(Q[i].b); if(x==y)continue; sum+=Q[i].val; if(++cut==n-1)break; fa[x]=y; } printf("%d",sum); return 0;}