在1614年开始有对数概念，约翰·纳皮尔以及Jost Bürgi（英语Jost Bürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定範围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。1742年William Jones（英语William Jones (mathematician)）才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的着作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。大约1730年，欧拉定义互为逆函式的指数函式和自然对数.

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

我们可以从自然对数最早是怎幺来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即。

后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，在对数表中出现并非偶然，而是相当自然或必然的。就叫它自然对数底了。

常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

自然对数的底e是由一个重要极限给出的。我们定义当n趋于无穷大时， .

e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。

当自然对数 中真数为连续自变数时，称为对数函式，记作 （x为自变数，y为因变数）。

历史上自然对数y=lnx的产生要比e要早些，当时人们对于微分和不定积分的求法已经熟知，并且很早就得到了幂函式的不定积分表达式。但对于n=-1的情况，因n=-1代入幂函式的不定积分表达式中将使分母为0，所以该如何求原函式，或者说到底该如何积分，数学家们採用了多种方法均无法得到满意的回答。

例如採用分部积分法，

两边减掉，将得到0=1的结论。

于是数学家们想到了利用积分变限函式来给出的原函式，即定义一个新的函式

根据这个定义立刻可以知道。并且根据可导必连续的性质，lnx在(0,+∞)上处处连续、可导。其导数为1/x>0，所以在(0,+∞)单调增加。又根据反常积分和分别发散至可知，函式的值域为R。虽然这与现代对数函式的运算法则和性质相符，但当时人们并没有意识到这就是对数函式，并且以e为底。

接下来人们便开始考虑y=lnx的反函式的问题。设y=lnx的反函式为x=f(y)，由反函式的求导法则可知，

如果用x来表示自变数，y来表示因变数，那幺自然对数的反函式y=f(x)满足一个非常重要的性质

即这个函式求导后仍得到它本身，并且当x=0时，y=1，我们把这个函式写作 。

由反函式的性质可知y=exp(x)是定义在R上的单调递增并且处处连续、可微的函式，其值域为(0,+∞)。由于exp(x)求导后得到它自身并且exp(0)=1，我们便可不断地重複该步骤，通过幂级数的知识可知exp(x)能在R上展开成麦克劳林级数

那为什幺后来人们会发现 呢？这是因为当人们在求指数函式y=a^x的导数时，採用了这样的方法

根据複合函式的求导法则， 。当a=e时， 。上文说过，在发明自然对数时，人们不知道y=lnx与e之间的关係，所以不知道lne=1。，利用 ，结合归结原则有 ，于是

所以

由于 与 求导以后都得到 ，根据原函式的性质， ，C为积分常数。将x=0代入等式两端，有1=1+C，C=0，即证明了 。

数学家们才恍然大悟，原来 与 有着千丝万缕的联繫，并且知道了 是对数函式的一种，其底为e。又利用 ，得到了

令x=1，则又得到了一个关于e的定义式

，根据 ，也可以将e定义为使 的x的取值。

数学讲求规律和美学，可是圆周率π和自然对数e那样基本的常量却那幺混乱，就如同两个“数学幽灵”。人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因例如人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头，所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合阴阳理论，1为阳，0为阴。再例如人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，涉及“参照物”的问题。那幺，如果把π和e都换算成最朴素的二进制，并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关係，这幺长的倒序，或许不是巧合。

说明[ ]符号内为17位倒序区。

二进制π取部分值为11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011

二进制e取部分值为10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101

17位倒序区的意义或许暗示e和π的发展初期可能按照某种彼此相反的规律发展，之后e和π都脱离了这个规律。，由于2进制只用0和1来表示数，因而出现相同，倒序相同，栅栏重排相同的情况不足为奇，虽然这种情况不一定是巧合，但思辨性结论不是科学结论，不应该作为科学证据使用。

问题求複数 的对数，规定 为 的幅角主值。

解答

设有一複数 ，其通过指数函式 将 映射为 。

∴

由複数相等的定义，得到

所以 ，即

记 为对数函式，可以看到在複数中对数函式是多值函式（即一个自变数对应多个因变数），并且有无数个分支。特别地，当k=0时，称 为对数函式的主值支，此时用记号 来表示。

即w的实部为z的模取自然对数，虚部为z的幅角主值。这就是当真数为複数时的对数运算公式。注意，因为实部需要对z的模取自然对数，r≠0。我们知道在複平面上只有0这个複数的模为0，其他任何複数的模都大于0，所以在複数域中，除了z=0以外所有的複数都可以求对数。

例求ln(-1)

解-1=cosπ+isinπ，其模为1，幅角主值为π。代入公式得

由此可见 ，即 ，这就是欧拉恆等式。