“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等。在数学中也有这样一类数字有这样的特徵，成为迴文数（palindrome number）。
设n是一任意自然数。若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一迴文数。例如，若n=1234321，则称n为一迴文数；但若n=1234567，则n不是迴文数。
注意
1.偶数个的数字也有迴文数124421
2.小数没有迴文数
基本介绍
- 中文名迴文数
- 外文名palindrome number
- 定义正读倒读都一样的整数
基本情况
1千以内的迴文数
在自然数中，最小的迴文数是0，是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.
平方回数
定义一个迴文数，它还是某一个数的平方，这样的数字叫做平方回数。例如121。
100以上至1000以内的平方回数只有3个，分别是121、484、676。
其中，121是11的平方。
484是22的平方，还是121的4倍。
676是26的平方，还是169的4倍。
举例说明
任意某一个数通过以下方式相加也可得到
如29+92=121 还有 194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992
不过很多数还没有发现此类特徵（比如196,下面会讲到）
个别平方数是迴文数
1的平方=1
11的平方=121
111的平方=12321
1111的平方=1234321
……
……
依次类推
3×51=153
6×21=126
4307×62=267034
9×7×533=33579
上面这些算式,等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算式中的“×”和“=”去掉，那幺，它们都变成迴文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”。还有一些回文算式，等号两边各有两个因数。请看
12×42=24×21
34×86=68×43
102×402=204×201
1012×4202=2024×2101
不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置，得到的仍是一个回文算式，比如分别把“12×42=24×21”等号两边的因数交换位置，得到算式是
42×12=21×24
这仍是一个回文算式。
还有更奇妙的回文算式，请看
12×231=132×21（积是2772）
12×4032=2304×21（积是48384）
这种回文算式，连乘积都是迴文数。
四位的迴文数有一个特点，就是它决不会是一个质数。设它为abba，那它等于a1000+b100+b10+a，1001a+110b。能被11整除。
六位的也一样，也能被11整除
还有，人们藉助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的迴文数，其比例要比一般自然数中迴文数所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=14641……都是迴文数。
研究现状
人们迄今未能找到自然数(除0和1)的五次方，以及更高次幂的迴文数。于是数学家们猜想不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然数)形式的迴文数。
在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反覆进行下去，经过有限次步骤后，必定能得到一个迴文数。
这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”。比如说196这个数，按照上述变换规则重複了数十万次，仍未得到迴文数。人们既不能肯定运算下去永远得不到迴文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到迴文数。
迴文数算法
随意找一个十进制的数，把它倒过来成另一个数，再把这两个数相加，得一个和数，这是第一步;然后把这个和数倒过来，与原来的和数相加，又得到一个新的和数，这是第二步。照此方法，一步步接续往下算，直到出现一个“迴文数”为n。例如:28+82=110,110+011=121，两步就得出了一个“迴文数”。如果接着算下去，还会得到更多的“迴文数”。这个过程称为“196算法”。
对迴文数的探索过程
上而提到的196这个数，是第一个可能的“利克瑞尔数”，因而它受到了最多的关注。由于目前还不可能证明一个数永远不能形成“迴文数”，所以“196和其他那些(看起来)不能形成迴文数的数是利克瑞尔数”这一命题仅是猜想而非已获证明。能证明的仅是那些反例，即如果一个数最终能形成“迴文数”，则它不是“利克瑞尔数”。
在电子计算机尚未问世的1938年，美国数学家莱默(D. Lehmer,1905-1991)计算到了第73步，得到了一个没有形成“迴文数”的35位的和数。至今挑战此题的数学爱好者从没有间断过，并随着计算机科技的发展，不断有发烧友编写不同的程式对此题发起挑战。据笔者最新调查，领军人W.V.Landingham到2006年2月已经计算到了699万步，得到了一个2.89亿位以上的和数，之间的结果仍未出现“迴文数”。
介绍一个关于达到“迴文数”需要计算步数的世界记录。它是一个19位数字1,186,060,307,891,929,990,算出“迴文数，，需要了261步。它是由Jason Doucette的算法及程式于2005年11月30日发现的。下表列举的是各位数字中，到达“迴文数”花费步数最多的代表性数字。
编程实现
JAVA源程式
publicclassPlalindrome{publicstaticvoidmain(String[]args){System.out.println("11is"+(isPlalindrome(11)?"":"not")+"Plalindromenumber");System.out.println("123is"+(isPlalindrome(123)?"":"not")+"Plalindromenumber");System.out.println("17251is"+(isPlalindrome(17251)?"":"not")+"Plalindromenumber");System.out.println("2882is"+(isPlalindrome(2882)?"":"not")+"Plalindromenumber");}publicstaticbooleanisPlalindrome(intnumber){//此方法实现判断数字是不是迴文数Stringnum=String.valueOf(number);returnnewStringBuffer(num).reverse().toString().equalsIgnoreCase(num);}}---------------
11 is Plalindrome number
123 is not Plalindrome number
17251 is not Plalindrome number
2882 is Plalindrome number
用visual basic6.0
for i = 100 to 99999 '这里从100开始 后面可以随便填，我这里填99999 表示所有3位数到五位数之间的迴文数
if StrReverse(i)=i then print i '用StrReverse函式 判断倒序后的数和原来数是否相同，如果相同者表示此数为迴文数
next
用C语言编程
#include<stdio.h>intx,y;separate(intdata,intn){ inti,j; y=0; while(n!=0) { (data+y)=n%10;n=n/10;y++; } (data+y)='\0'; for(i=0,j=y-1;i<=j;i++,j--) { if((data+i)!=(data+j)){ printf("%d不是回文!!!\n",x);break; } } if(i ==y-1) printf("是迴文数");}voidmain(){inta[99];printf("请输入一个正整数");scanf("%d",&x);separate(a,x);}一种实现方法（c++）更简便
#include<iostream>
using namespace std;
bool symm(long m)
{
long temp = m,n=0;
while (temp)
{
n = n10+temp%10;
temp = temp/10;
}
return (m == n);
}
int main(int argc, _TCHAR argv[])
{
long m;
cout<<"请输入一个整数";
cin>>m;
cout<<"输入了"<<symm(m)<<"个迴文数！";
return 0;
}
python源程式
#coding:--utf-8-- #--coding:cp936--classHws: def__init__(self): self.result=[] defhWs(self): forainrange(1,10000): b=str(a) foriinrange(0,len(b)/2+1): ifb[i]==b[len(b)-i-1]: self.result.append(a) printself.result hws=Hws() hws.hWs()
求最长迴文数长度的manacher算法（O(n)）
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<string>#include<queue>#include<algorithm>#include<map>#include<iomanip>#defineINF99999999usingnamespacestd;constintMAX=110000+10;chars[MAX2];intp[MAX2];intmain(){ while(scanf("%s",s)!=EOF){ intlen=strlen(s),id=0,maxlen=0; for(inti=len;i>=0;--i){//插入'#' s[i+i+2]=s[i]; s[i+i+1]='#'; }//插入了len+1个'#',最终的s长度是1~len+len+1即2len+1,首尾s[0]和s[2len+2]要插入不同的字元 s[0]='';//s[0]='',s[len+len+2]='\0',防止在while时p[i]越界 for(inti=2;i<2len+1;++i){ if(p[id]+id>i)p[i]=min(p[2id-i],p[id]+id-i); elsep[i]=1; while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]])++p[i]; if(id+p[id]<i+p[i])id=i; if(maxlen<p[i])maxlen=p[i]; } cout<<maxlen-1<<endl; } return0;}