什么是正交变换 啥叫正交变换呢

在线性代数领域中，正交变换是一种特殊的线性变换。它作用在实内积空间V上，不仅将V映射到自身，而且奇妙的是，它保证了变换前后的向量内积维持不变。

这种变换之所以重要，原因在于向量的模长和夹角都是通过内积来定义的。经过正交变换后，一对向量的模长和它们之间的夹角都不会发生变化。特别地，标准正交基在经过正交变换后，仍然保持其标准正交的性质。

在有限维空间中，当我们考虑正交变换在标准正交基下的矩阵表示时，这些矩阵被称为正交矩阵。这些矩阵的行和列各自构成V的一组标准正交基。由于正交矩阵的行列式的值只能是+1或-1，正交变换的行列式也必然是这两个值之一。

我们将行列式为+1的正交变换称为第一类的，这通常对应于旋转变换。而行列式为-1的正交变换则称为第二类的，它对应于一种特殊的旋转瑕旋转变换。由此可见，欧几里得空间中的正交变换主要涵盖了旋转、反射以及它们的结合也就是瑕旋转。

这些变换在几何空间中有着直观的体现，如旋转操作可以让我们围绕某点旋转图形，而反射则像是镜子中的反射效果。而正交变换的组合，使得这些操作更加丰富多样，为几何学和线性代数带来了无尽的空间。

正交变换是线性代数中一种极其重要的变换，它不仅保持了向量的基本性质不变，还为我们提供了研究旋转、反射及其组合的有效工具。