零空间是在线性映射（即矩阵）的背景下出现的，指像为零的原像空间，即{x| Ax=0}。
在数学中，一个运算元 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核，核空间。如果运算元是在向量空间上的线性运算元，零空间就是线性子空间。零空间是向量空间。
基本介绍
- 中文名零空间
- 外文名Null space
- 拼音ling kong jian
- 属于向量空间
- 定义像为零的原像空间
- 套用学科数学
定义
定义已知 为一个 矩阵。 的零空间（nullspace），又称核（kernel），是一组由下列公式定义的 维向量
即线性方程组 的所有解 的集合。
在数学中，一个运算元A的零空间是方程Av=0的所有解v的集合。它也叫做A的核，核空间。用集合建造符号表示为
例子
（1） 考虑函式
它是一个线性映射，因为 。它的零空间由所有第一个和第二个坐标一致的向量组成，就是说描述了一条直线 。
（2）在一个线性空间中固定一个向量 并定义线性映射 为向量x 和y 的点积。它的零空间由所有正交于 y 的向量，即 y 的正交补组成。
性质
如果A是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做A的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵A的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。
对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。
A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解(完全解)。如果 x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那幺方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。
要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果Ay=b，且Av=0，则明显的A(y+v) =Ay+Av=b+0=b。所以y+v也是Ax=b的解。在其他方向上，如果我们有对Ax=b的另一个解z，则A(zy) =AzAy= bb = 0。所以向量u=zy在A的零空间中而z=y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解y。
如果一个线性映射A是单同态，则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零，由类似上面的方法可以得出Ay=b的解不止一个，也就是说线性映射A不是单射了。
如果映射是零映射，则零空间同于映射的定义域。
矩阵的零空间
考虑矩阵
要找到它的零空间，须找到所有向量v使得 Av=0。把 A 变换成简约行梯阵形式
有Av=0若且唯若 Ev=0。使用符号 ，后者方程变为
所以，A 的零空间是一维空间，